MP Board 9th Chapter 3 Linear Equations in Two Variables

1. दो चरों वाले रैखिक समीकरण का मानक रूप (Standard Form) क्या है?
(A) \( ax + b = 0 \)
(B) \( ax^2 + bx + c = 0 \)
(C) \( ax + by + c = 0 \)
(D) \( ax^2 + by^2 + c = 0 \)
उत्तर: (C) \( ax + by + c = 0 \)

2. रैखिक समीकरण \( ax + by + c = 0 \) में \( a, b \) और \( c \) क्या हैं?
(A) चर
(B) वास्तविक संख्याएँ
(C) केवल धनात्मक संख्याएँ
(D) केवल पूर्णांक
उत्तर: (B) वास्तविक संख्याएँ

3. समीकरण \( ax + by + c = 0 \) के लिए अनिवार्य शर्त क्या है?
(A) \( a = 0, b = 0 \)
(B) \( a \neq 0 \) और \( b \neq 0 \)
(C) \( c = 0 \)
(D) \( a + b = c \)
उत्तर: (B) \( a \neq 0 \) और \( b \neq 0 \)

4. “रैखिक” समीकरण का अर्थ है कि चर की अधिकतम घात कितनी होगी?
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
उत्तर: (B) 1

5. एक रैखिक समीकरण \( 2x + 3y = 12 \) में ‘चर’ (Variables) कौन-से हैं?
(A) 2, 3
(B) 12
(C) x, y
(D) केवल x
उत्तर: (C) x, y

6. दो चरों वाले एक रैखिक समीकरण के कितने हल (Solutions) होते हैं?
(A) केवल एक
(B) केवल दो
(C) कोई हल नहीं
(D) अपरिमित रूप से अनेक (Infinitely many)
उत्तर: (D) अपरिमित रूप से अनेक

7. रैखिक समीकरण \( ax + by + c = 0 \) का आलेख (Graph) कैसा होता है?
(A) एक वक्र
(B) एक सरल रेखा
(C) एक वृत्त
(D) एक परवलय
उत्तर: (B) एक सरल रेखा

8. यदि समीकरण \( x + y = 5 \) है और \( x = 1 \), तो y का मान क्या होगा?
(A) 4
(B) 6
(C) 5
(D) 0
उत्तर: (A) 4

9. समीकरण \( 2x = 5 \) को दो चरों वाले रूप में कैसे लिखेंगे?
(A) \( 2x + 5y = 0 \)
(B) \( 2x + 0y – 5 = 0 \)
(C) \( 2x + y = 5 \)
(D) \( 0x + 2y = 5 \)
उत्तर: (B) \( 2x + 0y – 5 = 0 \)

10. बिंदु (2, 0) किस अक्ष पर स्थित है?
(A) y-अक्ष पर
(B) x-अक्ष पर
(C) मूल बिंदु पर
(D) चतुर्थ चतुर्थांश में
उत्तर: (B) x-अक्ष पर (चूँकि y=0 है)

11. समीकरण \( y = 3 \) का आलेख किसके समांतर एक सरल रेखा है?
(A) y-अक्ष के
(B) x-अक्ष के
(C) मूल बिंदु के
(D) किसी के नहीं
उत्तर: (B) x-अक्ष के

12. समीकरण \( x = 4 \) किसके समांतर एक रेखा है?
(A) x-अक्ष
(B) y-अक्ष
(C) दोनों अक्षों के
(D) मूल बिंदु के
उत्तर: (B) y-अक्ष

13. क्या (0, 0) समीकरण \( x + y = 0 \) का एक हल है?
(A) हाँ
(B) नहीं
(C) केवल यदि x धनात्मक हो
(D) कह नहीं सकते
उत्तर: (A) हाँ

14. समीकरण \( x – 2y = 4 \) के लिए कौन-सा बिंदु एक हल है?
(A) (0, 2)
(B) (2, 0)
(C) (4, 0)
(D) (1, 1)
उत्तर: (C) (4, 0)

15. \( y \)-अक्ष का समीकरण क्या है?
(A) \( y = 0 \)
(B) \( x = 0 \)
(C) \( x + y = 0 \)
(D) \( y = x \)
उत्तर: (B) \( x = 0 \)

16. \( x \)-अक्ष का समीकरण है:
(A) \( x = 0 \)
(B) \( y = 0 \)
(C) \( x = y \)
(D) \( x + y = 1 \)
उत्तर: (B) \( y = 0 \)

17. समीकरण \( x = y \) का आलेख कहाँ से गुजरता है?
(A) केवल x-अक्ष से
(B) केवल y-अक्ष से
(C) मूल बिंदु से
(D) समांतर रेखा से
उत्तर: (C) मूल बिंदु (0, 0) से

18. \( 3x – y = 0 \) में अचर पद (c) का मान क्या है?
(A) 3
(B) -1
(C) 0
(D) 1
उत्तर: (C) 0

19. समीकरण \( x = 5 \) को दो चरों में लिखने पर \( b \) (y का गुणांक) होगा:
(A) 5
(B) 1
(C) 0
(D) -5
उत्तर: (C) 0

20. फासी और सेल्सियस के बीच संबंध \( F = \frac{9}{5}C + 32 \) कैसा समीकरण है?
(A) द्विघाती
(B) दो चरों वाला रैखिक
(C) एक चर वाला रैखिक
(D) अचर
उत्तर: (B)

21. समीकरण के दोनों पक्षों में समान संख्या जोड़ने पर क्या होता है?
(A) समीकरण बदल जाता है
(B) समीकरण अप्रभावित रहता है
(C) उत्तर शून्य हो जाता है
(D) केवल x का मान बदलता है
उत्तर: (B) अप्रभावित रहता है

22. रैखिक समीकरण \( x + 2y = 6 \) का एक हल है:
(A) (2, 2)
(B) (1, 2)
(C) (4, 4)
(D) (0, 0)
उत्तर: (A) (2, 2) (चूँकि 2 + 2(2) = 6)

23. समीकरण \( y = mx + c \) में \( m \) को क्या कहा जाता है?
(A) आधार
(B) ढाल (Slope)
(C) चर
(D) कोटि
उत्तर: (B) ढाल

24. समीकरण \( 2x + 3y = 9.3555… \) में c का मान मानक रूप में है:
(A) 9.35
(B) -9.35
(C) 0
(D) 3
उत्तर: (B) -9.35

25. एक नोटबुक की कीमत एक कलम की कीमत से दोगुनी है। इसका समीकरण होगा:
(A) \( x = 2y \)
(B) \( y = 2x \)
(C) \( x + y = 2 \)
(D) \( x – y = 2 \)
उत्तर: (A) \( x = 2y \)

26. यदि \( (2, 0) \) समीकरण \( 2x + 3y = k \) का एक हल है, तो \( k \) का मान क्या है?
(A) 2
(B) 4
(C) 5
(D) 6
उत्तर: (B) 4 (चूँकि 2(2) + 3(0) = 4)

27. समीकरण \( x = -2 \) का आलेख x-अक्ष को कहाँ काटता है?
(A) (0, -2)
(B) (-2, 0)
(C) (-2, -2)
(D) नहीं काटता
उत्तर: (B) (-2, 0)

28. \( ax + by + c = 0 \) अक्षों को कितने बिंदुओं पर काटता है (यदि a, b, c $\neq$ 0)?
(A) 1
(B) 2
(C) 0
(D) अनेक
उत्तर: (B) 2 (एक बार x-अक्ष पर, एक बार y-अक्ष पर)

29. रेखा \( y = x \) पर स्थित किसी भी बिंदु के निर्देशांक किस रूप के होंगे?
(A) (a, 0)
(B) (0, a)
(C) (a, a)
(D) (a, -a)
उत्तर: (C) (a, a)

30. यदि \( (3, 4) \) समीकरण \( 3y = ax + 7 \) के आलेख पर स्थित है, तो \( a \) का मान है:
(A) 5/3
(B) 3/5
(C) 1
(D) 7/3
उत्तर: (A) 5/3 (चूँकि 3(4) = a(3) + 7 \(\Rightarrow\) 12-7=3a)

31. समीकरण \( 2x + 5y = 0 \) का आलेख गुजरता है:
(A) (5, 2) से
(B) (0, 0) से
(C) (2, 5) से
(D) (1, 1) से
उत्तर: (B) मूल बिंदु से (चूँकि c = 0 है)

32. रेखा \( x – y = 0 \) और \( x + y = 0 \) का प्रतिच्छेद बिंदु (Intersection) क्या है?
(A) (1, 1)
(B) (0, 0)
(C) (-1, 1)
(D) कोई नहीं
उत्तर: (B) (0, 0)

33. यदि \( x = 1, y = 2 \) समीकरण \( 3x + 2y = k \) का हल है, तो k है:
(A) 5
(B) 7
(C) 8
(D) 10
उत्तर: (B) 7 (3(1) + 2(2) = 7)

34. समीकरण \( x = a \) का आलेख \( y \)-अक्ष से कितनी दूरी पर है?
(A) a इकाई
(B) 0 इकाई
(C) x इकाई
(D) अपरिभाषित
उत्तर: (A) a इकाई

35. \( y = 3x + 5 \) के लिए कौन-सा कथन सत्य है?
(A) एक अद्वितीय हल है
(B) केवल दो हल हैं
(C) अपरिमित रूप से अनेक हल हैं
(D) कोई हल नहीं है
उत्तर: (C)

36. समीकरण \( 2x + y = 7 \) में यदि x को दोगुना और y को आधा कर दिया जाए, तो नया समीकरण क्या होगा?
(A) \( 4x + y/2 = 7 \)
(B) \( x + 2y = 14 \)
(C) \( 4x + y = 14 \)
(D) \( 2x + y = 7 \)
उत्तर: (A)

37. रेखा \( 2x + 3y = 6 \), \( y \)-अक्ष को किस बिंदु पर काटती है?
(A) (3, 0)
(B) (0, 2)
(C) (0, 3)
(D) (2, 0)
उत्तर: (B) (0, 2) (चूँकि y-अक्ष पर x=0 होता है)

38. \( x + y = 10 \) और \( x – y = 4 \) का उभयनिष्ठ हल क्या है?
(A) (7, 3)
(B) (6, 4)
(C) (8, 2)
(D) (5, 5)
उत्तर: (A) (7, 3)

39. बिन्दुओं (1, 2) और (2, 4) से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण है:
(A) \( y = 2x \)
(B) \( x = 2y \)
(C) \( x + y = 3 \)
(D) \( y = x + 1 \)
उत्तर: (A)

40. एक चर वाला रैखिक समीकरण \( 2x + 3 = 0 \) का आलेख कार्ततीय तल में:
(A) एक बिंदु है
(B) x-अक्ष के समांतर रेखा है
(C) y-अक्ष के समांतर रेखा है
(D) मूल बिंदु है
उत्तर: (C) y-अक्ष के समांतर रेखा (\( x = -1.5 \))

41. \( y = 2x \) के आलेख पर वह बिंदु जिसका भुज -3 है, उसकी कोटि होगी:
(A) -6
(B) 6
(C) -1.5
(D) 1.5
उत्तर: (A) -6

42. समीकरण \( \pi x + y = 9 \) में यदि \( x = 0 \), तो y का मान है:
(A) 9
(B) 0
(C) \( 9/\pi \)
(D) \( 9-\pi \)
उत्तर: (A) 9

43. यदि किसी आयत की लंबाई x और चौड़ाई y है और परिमाप 20 है, तो रैखिक समीकरण होगा:
(A) \( x + y = 20 \)
(B) \( x + y = 10 \)
(C) \( 2x + y = 20 \)
(D) \( xy = 20 \)
उत्तर: (B) \( x + y = 10 \) (चूँकि \( 2(x+y)=20 \))

44. समीकरण \( x/2 + y/3 = 1 \) का मानक रूप (\( ax+by+c=0 \)) है:
(A) \( 3x + 2y – 6 = 0 \)
(B) \( 2x + 3y – 6 = 0 \)
(C) \( 3x + 2y = 1 \)
(D) \( x + y = 5 \)
उत्तर: (A)

45. बिन्दुओं (0, 3) और (-2, 0) से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण है:
(A) \( 3x – 2y = 6 \)
(B) \( 3x – 2y + 6 = 0 \)
(C) \( 2x – 3y + 6 = 0 \)
(D) \( 3x + 2y + 6 = 0 \)
उत्तर: (B)

46. \( x = 2, y = 1 \) किस समीकरण का हल है?
(A) \( x + y = 3 \)
(B) \( x – y = 1 \)
(C) \( 2x + y = 5 \)
(D) उपरोक्त सभी का
उत्तर: (D)

47. \( x \)-अक्ष के समांतर और उससे 3 इकाई नीचे की रेखा का समीकरण है:
(A) \( x = 3 \)
(B) \( x = -3 \)
(C) \( y = 3 \)
(D) \( y = -3 \)
उत्तर: (D)

48. रैखिक समीकरण \( 2x – 5y = 7 \) का आलेख x-अक्ष को कहाँ काटेगा?
(A) (3.5, 0)
(B) (0, 7)
(C) (-3.5, 0)
(D) (7, 2)
उत्तर: (A) (चूँकि y = 0 रखने पर 2x = 7 \(\Rightarrow\) x = 3.5)

49. यदि \( x = k^2 \) और \( y = k \) समीकरण \( x – 5y + 6 = 0 \) का हल है, तो k का मान है:
(A) 2, 3
(B) 1, 6
(C) -2, -3
(D) 5, 6
उत्तर: (A) (चूँकि \( k^2 – 5k + 6 = 0 \))

50. मूल बिंदु से गुजरने वाली सभी रेखाओं के समीकरण का रूप होता है:
(A) \( y = k \)
(B) \( x = k \)
(C) \( y = mx \)
(D) \( ax + by + c = 0 \)
उत्तर: (C)