MP Board 9th Chapter 5 Introduction to Euclid’s Geometry

1. ‘ज्यामिति’ (Geometry) शब्द का अर्थ क्या है?
(A) आकाश का मापन
(B) पृथ्वी का मापन
(C) तारों का अध्ययन
(D) जल का मापन
उत्तर: (B) पृथ्वी का मापन (Geo + Metron)

2. प्रसिद्ध यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड किस देश के निवासी थे?
(A) भारत
(B) चीन
(C) मिस्र (Alexandria)
(D) बेबीलोन
उत्तर: (C) मिस्र

3. यूक्लिड ने अपने प्रसिद्ध ग्रंथ ‘एलीमेंट्स’ (Elements) को कितने अध्यायों में विभाजित किया था?
(A) 10
(B) 12
(C) 13
(D) 15
उत्तर: (C) 13

4. यूक्लिड के अनुसार, एक ‘बिंदु’ (Point) वह है:
(A) जिसकी लंबाई हो
(B) जिसका कोई भाग नहीं होता
(C) जिसकी चौड़ाई हो
(D) जो गोल हो
उत्तर: (B) जिसका कोई भाग नहीं होता

5. एक ‘रेखा’ (Line) की क्या विशेषता होती है?
(A) चौड़ाई सहित लंबाई
(B) चौड़ाई रहित लंबाई
(C) केवल चौड़ाई
(D) मोटाई सहित लंबाई
उत्तर: (B) चौड़ाई रहित लंबाई

6. एक रेखा के सिरे (Ends) क्या होते हैं?
(A) रेखाएं
(B) तल
(C) बिंदु
(D) पृष्ठ
उत्तर: (C) बिंदु

7. ‘पृष्ठ’ (Surface) वह है जिसकी:
(A) केवल लंबाई हो
(B) केवल चौड़ाई हो
(C) लंबाई और चौड़ाई दोनों हो
(D) कोई विमा न हो
उत्तर: (C) लंबाई और चौड़ाई दोनों हो

8. एक ठोस (Solid) की कितनी विमाएँ (Dimensions) होती हैं?
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 0
उत्तर: (C) 3 (लंबाई, चौड़ाई, ऊँचाई)

9. एक बिंदु की कितनी विमाएँ होती हैं?
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
उत्तर: (A) 0

10. ‘अभिगृहीत’ (Axioms) क्या होते हैं?
(A) जिन्हें सिद्ध करना पड़े
(B) जो स्वयं सिद्ध सत्य होते हैं और गणित के हर क्षेत्र में लागू होते हैं
(C) केवल ज्यामिति के नियम
(D) गणितीय गणनाएँ
उत्तर: (B)

11. वे शब्द जिन्हें परिभाषित करने की आवश्यकता नहीं होती, कहलाते हैं:
(A) परिभाषाएँ
(B) अपरिभाषित पद
(C) प्रमेय
(D) सूत्र
उत्तर: (B) अपरिभाषित पद (जैसे बिंदु, रेखा)

12. यूक्लिड के अनुसार, ‘अभिधारणा’ (Postulate) शब्द का प्रयोग विशेष रूप से किसके लिए किया जाता है?
(A) बीजगणित के लिए
(B) ज्यामिति के लिए
(C) सांख्यिकी के लिए
(D) सभी के लिए
उत्तर: (B) ज्यामिति के लिए

13. “वे वस्तुएँ जो एक ही वस्तु के बराबर हों, एक-दूसरे के _______ होती हैं।”
(A) आधी
(B) बराबर
(C) दोगुनी
(D) विपरीत
उत्तर: (B) बराबर

14. “पूर्ण (Whole) अपने भाग (Part) से हमेशा _______ होता है।”
(A) छोटा
(B) बड़ा
(C) बराबर
(D) आधा
उत्तर: (B) बड़ा

15. यूक्लिड की पहली अभिधारणा के अनुसार, एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक कितनी सीधी रेखाएँ खींची जा सकती हैं?
(A) केवल एक
(B) दो
(C) अनंत
(D) शून्य
उत्तर: (A) केवल एक (अद्वितीय)

16. एक शांत रेखा (Terminated line) को अनिश्चित रूप से बढ़ाया जा सकता है?
(A) हाँ
(B) नहीं
(C) केवल दाईं ओर
(D) केवल बाईं ओर
उत्तर: (A) हाँ

17. “सभी समकोण एक-दूसरे के बराबर होते हैं।” यह यूक्लिड की कौन-सी अभिधारणा है?
(A) पहली
(B) दूसरी
(C) चौथी
(D) पाँचवीं
उत्तर: (C) चौथी अभिधारणा

18. किसी भी केंद्र और किसी भी त्रिज्या से क्या खींचा जा सकता है?
(A) वर्ग
(B) त्रिभुज
(C) वृत्त
(D) आयत
उत्तर: (C) वृत्त (तीसरी अभिधारणा)

19. यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा किसके बारे में बात करती है?
(A) वृत्तों के बारे में
(B) समांतर रेखाओं के प्रतिच्छेदन के बारे में
(C) त्रिभुजों के बारे में
(D) बिंदुओं के बारे में
उत्तर: (B)

20. वह ज्यामिति जिसमें यूक्लिड के अभिगृहीतों का पालन होता है, कहलाती है:
(A) यूक्लिडीय ज्यामिति
(B) गोलीय ज्यामिति
(C) निर्देशांक ज्यामिति
(D) आधुनिक ज्यामिति
उत्तर: (A) यूक्लिडीय ज्यामिति

21. दो भिन्न बिंदुओं से होकर कितनी रेखाएँ गुजर सकती हैं?
(A) दो
(B) एक अद्वितीय
(C) अनंत
(D) शून्य
उत्तर: (B)

22. पृष्ठ (Surface) की सीमाएँ (Boundaries) क्या होती हैं?
(A) वक्र या रेखाएँ
(B) बिंदु
(C) तल
(D) ठोस
उत्तर: (A) वक्र या रेखाएँ

23. पिरामिड का आधार (Base) कैसा हो सकता है?
(A) केवल वर्गाकार
(B) केवल वृत्ताकार
(C) कोई भी बहुभुज (Polygon)
(D) केवल त्रिभुजाकार
उत्तर: (C) कोई भी बहुभुज

24. एक ‘प्रमेय’ (Theorem) वह कथन है जिसे:
(A) सिद्ध करने की आवश्यकता नहीं
(B) तार्किक रूप से सिद्ध किया जा सकता है
(C) गलत माना जाता है
(D) केवल याद किया जाता है
उत्तर: (B)

25. यूक्लिड के अनुसार, रेखा के अंत में क्या होते हैं?
(A) रेखाएँ
(B) बिंदु
(C) तल
(D) विमाएँ
उत्तर: (B) बिंदु

26. यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा के समांतर एक अन्य कथन (प्लेफेयर का अभिगृहीत) क्या है?
(A) प्रत्येक रेखा के लिए एक लम्ब होता है।
(B) किसी दी गई रेखा के बाहर स्थित बिंदु से केवल एक समांतर रेखा खींची जा सकती है।
(C) दो रेखाएँ कभी नहीं मिलतीं।
(D) त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180 डिग्री होता है।
उत्तर: (B)

27. यदि \( AB = CD \) है, तो यूक्लिड के अभिगृहीत के अनुसार \( AB + AC = CD + AC \) होगा?
(A) नहीं
(B) हाँ (समान में समान जोड़ने पर)
(C) केवल यदि AC शून्य हो
(D) अपरिभाषित
उत्तर: (B) हाँ

28. ‘अविभाज्य’ पद किसे माना गया था?
(A) रेखा को
(B) बिंदु को
(C) तल को
(D) पिरामिड को
उत्तर: (B) बिंदु को

29. यूक्लिड के तत्वों (Elements) की पुस्तक 1 में कुल कितने अभिगृहीत (Axioms) दिए गए हैं?
(A) 5
(B) 7
(C) 9
(D) 13
उत्तर: (B) 7

30. “वस्तुएँ जो परस्पर संपाती (Coincide) हों, एक-दूसरे के _______ होती हैं।”
(A) समांतर
(B) बराबर
(C) लम्बवत
(D) आधी
उत्तर: (B) बराबर

31. पिरामिड की पार्श्व दीवारें (Side faces) हमेशा कैसी होती हैं?
(A) वर्गाकार
(B) त्रिभुजाकार
(C) वृत्ताकार
(D) आयताकार
उत्तर: (B) त्रिभुजाकार

32. निम्नलिखित में से कौन-सा कथन पाँचवीं अभिधारणा के समकक्ष (Equivalent) नहीं है?
(A) दो भिन्न प्रतिच्छेदी रेखाएँ एक ही रेखा के समांतर नहीं हो सकतीं।
(B) त्रिभुज के कोणों का योग 180 डिग्री होता है।
(C) एक रेखा के बाहर किसी बिंदु से अनंत समांतर रेखाएँ खींची जा सकती हैं।
(D) समांतर रेखाएँ सदैव समान दूरी पर रहती हैं।
उत्तर: (C) (क्योंकि केवल एक ही संभव है)

33. यदि एक रेखा दो अन्य रेखाओं को इस प्रकार काटे कि एक ही ओर के अंतः कोणों का योग 180 से कम हो, तो वे:
(A) कभी नहीं मिलेंगी
(B) उसी ओर मिलेंगी जहाँ योग कम है
(C) दूसरी ओर मिलेंगी
(D) लम्बवत होंगी
उत्तर: (B)

34. यूक्लिड के अनुसार, ‘तल’ के किनारे क्या होते हैं?
(A) बिंदु
(B) रेखाएँ
(C) अन्य तल
(D) विमाएँ
उत्तर: (B) रेखाएँ

35. “दो भिन्न रेखाओं में एक से अधिक बिंदु उभयनिष्ठ (Common) नहीं हो सकते।” यह एक:
(A) अभिगृहीत है
(B) अभिधारणा है
(C) सिद्ध प्रमेय (Theorem) है
(D) परिभाषा है
उत्तर: (C) प्रमेय

36. ठोस से बिंदु तक जाने की प्रक्रिया में विमाएँ क्रमशः कैसे बदलती हैं?
(A) 3, 2, 1, 0
(B) 0, 1, 2, 3
(C) 3, 1, 2, 0
(D) 2, 1, 0, 3
उत्तर: (A) ठोस(3) → पृष्ठ(2) → रेखा(1) → बिंदु(0)

37. थैल्स (Thales) ने क्या सिद्ध किया था?
(A) वृत्त का व्यास उसे दो समान भागों में विभाजित करता है।
(B) समकोण बराबर होते हैं।
(C) पाइथागोरस प्रमेय।
(D) समांतर रेखाओं का नियम।
उत्तर: (A)

38. यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा के कारण ही किस नई ज्यामिति का जन्म हुआ?
(A) अ-यूक्लिडीय ज्यामिति (Non-Euclidean)
(B) सरल ज्यामिति
(C) वैदिक ज्यामिति
(D) इनमें से कोई नहीं
उत्तर: (A)

39. “समान वस्तुओं के दोगुने भी परस्पर बराबर होते हैं।” यह कथन क्या है?
(A) परिभाषा
(B) अभिगृहीत
(C) अभिधारणा
(D) प्रमेय
उत्तर: (B) अभिगृहीत

40. यदि \( x+y = 10 \) और \( x = z \), तो \( z+y = 10 \)। यहाँ किस नियम का प्रयोग हुआ?
(A) पहली अभिधारणा
(B) यूक्लिड का दूसरा अभिगृहीत
(C) संपाती का नियम
(D) प्रतिस्थापन अभिगृहीत
उत्तर: (D)

41. यूक्लिड ने ‘बिंदु’ को क्या मानकर ज्यामिति का आधार रखा?
(A) सूक्ष्म वृत्त
(B) विमा रहित स्थिति
(C) छोटा चिन्ह
(D) काल्पनिक वस्तु
उत्तर: (B)

42. क्या यूक्लिड की ज्यामिति केवल समतल आकृतियों के लिए ही सत्य है?
(A) हाँ
(B) नहीं
(C) केवल वृत्तों के लिए
(D) केवल ठोस के लिए
उत्तर: (A) हाँ (इसे समतल ज्यामिति भी कहते हैं)

43. ‘शुल्ब सूत्र’ (Sulba Sutras) का संबंध किस देश की प्राचीन ज्यामिति से है?
(A) यूनान
(B) भारत
(C) बेबीलोन
(D) चीन
उत्तर: (B) भारत

44. सिंधु घाटी सभ्यता में ईंटों की लंबाई, चौड़ाई और मोटाई का अनुपात क्या था?
(A) 1:2:3
(B) 4:2:1
(C) 4:4:2
(D) 3:2:1
उत्तर: (B) 4:2:1

45. श्रीयंत्र में कुल कितने अंतर्ग्रथित (Interlocking) समद्विबाहु त्रिभुज होते हैं?
(A) 7
(B) 9
(C) 11
(D) 13
उत्तर: (B) 9

46. यदि \( a > b \) और \( c > 0 \), तो यूक्लिड के अनुसार \( a+c \) और \( b+c \) में क्या संबंध होगा?
(A) \( a+c < b+c \)
(B) \( a+c = b+c \)
(C) \( a+c > b+c \)
(D) कोई संबंध नहीं
उत्तर: (C)

47. एक ही वस्तु के आधे (Halves) परस्पर _______ होते हैं।
(A) असमान
(B) बराबर
(C) तिगुने
(D) शून्य
उत्तर: (B) बराबर

48. यूक्लिड ने ‘एलीमेंट्स’ के प्रथम अध्याय में कुल कितनी परिभाषाएँ दी थीं?
(A) 20
(B) 23
(C) 25
(D) 30
उत्तर: (B) 23

49. “दो समांतर रेखाएँ कभी प्रतिच्छेद नहीं करतीं।” यह कथन:
(A) पाँचवीं अभिधारणा का निष्कर्ष है
(B) एक परिभाषा है
(C) प्रथम अभिगृहीत है
(D) अ-यूक्लिडीय नियम है
उत्तर: (A)

50. यूक्लिड के अनुसार, ‘पृष्ठ’ की विमाएँ कितनी होती हैं?
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 0
उत्तर: (B) 2 (लंबाई और चौड़ाई)