MP Board 9th Laws of Exponents for Real Numbers

1. आधार समान होने पर गुणा में घातों का क्या होता है? \( a^m \cdot a^n = ? \)
(A) घातें घटती हैं
(B) घातें जुड़ती हैं \( (a^{m+n}) \)
(C) घातें गुणा होती हैं
(D) घातें शून्य हो जाती हैं
उत्तर: (B) घातें जुड़ती हैं

2. \( a^m \div a^n \) का मान क्या होगा?
(A) \( a^{m+n} \)
(B) \( a^{m-n} \)
(C) \( a^{mn} \)
(D) \( a^m \cdot a^n \)
उत्तर: (B) \( a^{m-n} \)

3. किसी भी शून्येत्तर संख्या की घात शून्य होने पर उसका मान क्या होता है? \( (a^0 = ?) \)
(A) 0
(B) a
(C) 1
(D) अनंत
उत्तर: (C) 1

4. \( (a^m)^n \) किसके बराबर है?
(A) \( a^{m+n} \)
(B) \( a^{m-n} \)
(C) \( a^{mn} \)
(D) \( a^{m/n} \)
उत्तर: (C) \( a^{mn} \)

5. \( 2^3 \cdot 2^4 \) का सरल रूप है:
(A) \( 2^{12} \)
(B) \( 2^7 \)
(C) \( 4^7 \)
(D) \( 2^1 \)
उत्तर: (B) \( 2^7 \)

6. \( 5^8 \div 5^3 \) का मान क्या होगा?
(A) \( 5^{11} \)
(B) \( 5^5 \)
(C) \( 5^{24} \)
(D) 5
उत्तर: (B) \( 5^5 \)

7. \( (3^2)^4 \) का मान है:
(A) \( 3^6 \)
(B) \( 3^8 \)
(C) \( 3^2 \)
(D) 81
उत्तर: (B) \( 3^8 \)

8. \( 7^{-2} \) को धनात्मक घात के रूप में कैसे लिखेंगे?
(A) \( -7^2 \)
(B) \( 1/7^2 \)
(C) \( 2/7 \)
(D) -14
उत्तर: (B) \( 1/7^2 \)

9. \( (ab)^n \) को अलग-अलग घातों के रूप में कैसे लिखते हैं?
(A) \( a^n b^n \)
(B) \( a+b^n \)
(C) \( a^n + b^n \)
(D) \( abn \)
उत्तर: (A) \( a^n b^n \)

10. \( 100^0 \) का मान क्या है?
(A) 0
(B) 100
(C) 1
(D) 10
उत्तर: (C) 1

11. \( \sqrt{a} \) को घातांक रूप में कैसे लिखते हैं?
(A) \( a^1 \)
(B) \( a^{1/2} \)
(C) \( a^2 \)
(D) \( 1/a \)
उत्तर: (B) \( a^{1/2} \)

12. \( (64)^{1/2} \) का मान क्या होगा?
(A) 64
(B) 32
(C) 8
(D) 4
उत्तर: (C) 8

13. \( (125)^{1/3} \) का सरलतम मान है:
(A) 5
(B) 25
(C) 15
(D) 3
उत्तर: (A) 5

14. \( a^{-n} \) किसके बराबर है?
(A) \( -a^n \)
(B) \( 1/a^n \)
(C) \( n^a \)
(D) 0
उत्तर: (B) \( 1/a^n \)

15. \( 2^0 + 3^0 + 4^0 \) का मान क्या होगा?
(A) 0
(B) 3
(C) 9
(D) 1
उत्तर: (B) 3 (चूँकि 1+1+1 = 3)

16. \( (2^2)^3 \) का मान है:
(A) 64
(B) 32
(C) 12
(D) 16
उत्तर: (A) 64

17. \( (\frac{a}{b})^n \) किसके बराबर है?
(A) \( a^n / b^n \)
(B) \( ab^n \)
(C) \( a^n – b^n \)
(D) \( a/b \cdot n \)
उत्तर: (A)

18. \( (32)^{1/5} \) का मान क्या है?
(A) 32
(B) 16
(C) 2
(D) 5
उत्तर: (C) 2

19. \( 10^5 \cdot 10^{-2} \) का मान है:
(A) \( 10^3 \)
(B) \( 10^7 \)
(C) \( 10^{-10} \)
(D) 100
उत्तर: (A) \( 10^3 \)

20. \( \sqrt[n]{a} \) का घातांक रूप है:
(A) \( a^n \)
(B) \( a^{1/n} \)
(C) \( n/a \)
(D) \( 1/a^n \)
उत्तर: (B)

21. \( 11^{1/2} \div 11^{1/4} \) का मान है:
(A) \( 11^{1/4} \)
(B) \( 11^{1/2} \)
(C) \( 11^{3/4} \)
(D) 1
उत्तर: (A)

22. \( 13^{1/5} \cdot 17^{1/5} \) किसके बराबर है?
(A) \( (13+17)^{1/5} \)
(B) \( (221)^{1/5} \)
(C) \( 221^1 \)
(D) \( (221)^{2/5} \)
उत्तर: (B)

23. \( (1)^n \) का मान हमेशा होता है (जहाँ n कोई भी संख्या है):
(A) n
(B) 0
(C) 1
(D) अनिश्चित
उत्तर: (C) 1

24. \( (16)^{3/4} \) का मान है:
(A) 12
(B) 8
(C) 4
(D) 16
उत्तर: (B) 8

25. घातांक नियम के अनुसार \( a^m \cdot b^m = \) ?
(A) \( (ab)^m \)
(B) \( (a+b)^m \)
(C) \( ab^{2m} \)
(D) \( a^m + b^m \)
उत्तर: (A) \( (ab)^m \)

26. \( (9)^{3/2} \) का मान क्या होगा?
(A) 27
(B) 9
(C) 3
(D) 81
उत्तर: (A) 27

27. \( (2^{2/3}) \cdot (2^{1/5}) \) का सरलतम रूप है:
(A) \( 2^{3/8} \)
(B) \( 2^{13/15} \)
(C) \( 2^{2/15} \)
(D) \( 4^{13/15} \)
उत्तर: (B)

28. यदि \( 2^x = 16 \), तो x का मान क्या होगा?
(A) 2
(B) 4
(C) 8
(D) 16
उत्तर: (B) 4

29. \( (1/3^3)^7 \) को लिख सकते हैं:
(A) \( 3^{21} \)
(B) \( 3^{-21} \)
(C) \( 1/3^{10} \)
(D) \( 3^{4} \)
उत्तर: (B) \( 3^{-21} \)

30. \( (125)^{-1/3} \) का मान क्या है?
(A) 5
(B) 1/5
(C) -5
(D) 25
उत्तर: (B) 1/5

31. \( (7^{1/2}) \cdot (8^{1/2}) \) का मान है:
(A) \( 56^{1/2} \)
(B) \( 56^1 \)
(C) \( 15^{1/2} \)
(D) \( 56^{1/4} \)
उत्तर: (A)

32. \( \frac{10^8}{10^5} \) का मान होगा:
(A) 1000
(B) 100
(C) 10
(D) \( 10^{13} \)
उत्तर: (A) 1000

33. \( (81)^{0.25} \) का मान है:
(A) 9
(B) 3
(C) 27
(D) 81
उत्तर: (B) 3

34. \( (x^a / x^b)^{a+b} \) का मान क्या है?
(A) 1
(B) \( x^{a^2 – b^2} \)
(C) \( x^{a^2 + b^2} \)
(D) 0
उत्तर: (B)

35. \( 16^{-1/4} \) का मान है:
(A) 2
(B) 1/2
(C) 4
(D) -2
उत्तर: (B) 1/2

36. \( (2^3 \cdot 3^3) \) किसके बराबर है?
(A) \( 6^3 \)
(B) \( 6^9 \)
(C) \( 5^3 \)
(D) 216
उत्तर: (A) या (D) (दोनों सही हैं)

37. \( \sqrt[3]{64^{-2}} \) का मान क्या होगा?
(A) 1/16
(B) 16
(C) 1/4
(D) 4
उत्तर: (A)

38. यदि आधार ऋणात्मक हो और घात सम संख्या हो, तो परिणाम होगा:
(A) ऋणात्मक
(B) धनात्मक
(C) शून्य
(D) अपरिभाषित
उत्तर: (B) धनात्मक

39. \( (256)^{0.16} \cdot (256)^{0.09} \) का मान है:
(A) 4
(B) 16
(C) 64
(D) 256.25
उत्तर: (A) 4

40. \( 6^{1/2} \cdot 6^{1/2} \) का मान है:
(A) \( 6^{1/4} \)
(B) 6
(C) 36
(D) 1
उत्तर: (B) 6

41. \( (x^n)^{1/n} \) का मान क्या है?
(A) 1
(B) x
(C) \( x^{n^2} \)
(D) 0
उत्तर: (B) x

42. \( (0.001)^{1/3} \) का मान है:
(A) 0.1
(B) 0.01
(C) 0.001
(D) 1
उत्तर: (A) 0.1

43. \( 4^x – 4^{x-1} = 24 \) हो, तो \( (2x)^x \) का मान है:
(A) 25
(B) 125
(C) 27
(D) 100
उत्तर: (B) 125 (जहाँ x=2.5)

44. \( \sqrt{x^{-1} y} \cdot \sqrt{y^{-1} z} \cdot \sqrt{z^{-1} x} \) का मान है:
(A) xyz
(B) 1
(C) 0
(D) 1/xyz
उत्तर: (B) 1

45. \( (a^p / a^q)^r \cdot (a^q / a^r)^p \cdot (a^r / a^p)^q \) का मान है:
(A) 0
(B) 1
(C) a
(D) \( a^{pqr} \)
उत्तर: (B) 1

46. \( 2^{55} \cdot 2^{60} – 2^{97} \cdot 2^{18} \) का मान क्या होगा?
(A) \( 2^{115} \)
(B) 0
(C) 1
(D) \( 2^{100} \)
उत्तर: (B) 0 (चूँकि दोनों घातें 115 हैं)

47. \( (x^a / x^b) \cdot (x^b / x^c) \cdot (x^c / x^a) = \) ?
(A) x
(B) 0
(C) 1
(D) \( x^{abc} \)
उत्तर: (C) 1

48. \( (3/4)^{-2} \) का मान क्या है?
(A) 9/16
(B) 16/9
(C) -9/16
(D) 4/3
उत्तर: (B) 16/9

49. \( \sqrt[4]{\sqrt[3]{2^2}} \) को घातांक रूप में लिखिए:
(A) \( 2^{1/6} \)
(B) \( 2^{1/12} \)
(C) \( 2^{1/24} \)
(D) \( 2^{6} \)
उत्तर: (A)

50. \( 2^x = 4^y = 8^z \) हो, तो x, y, z का अनुपात क्या है?
(A) 1:2:3
(B) 6:3:2
(C) 3:2:1
(D) 1:1:1
उत्तर: (B) 6:3:2 (चूँकि x=2y=3z)

51. यदि \( x = 2 \), तो \( x^x + 1/x^x \) का मान है:
(A) 4.25
(B) 4
(C) 5
(D) 2.5
उत्तर: (A) 4.25 (4 + 1/4)

52. \( \frac{2^n + 2^{n-1}}{2^{n+1} – 2^n} \) का मान क्या है?
(A) 1/2
(B) 3/2
(C) 2/3
(D) 1
उत्तर: (B) 3/2

53. \( (x^a / x^b)^{a^2+ab+b^2} \cdot (x^b / x^c)^{b^2+bc+c^2} \cdot (x^c / x^a)^{c^2+ca+a^2} = \) ?
(A) x
(B) 1
(C) 0
(D) \( x^{a+b+c} \)
उत्तर: (B) 1

54. \( 5^{x-3} \cdot 3^{2x-8} = 225 \) हो, तो x का मान है:
(A) 3
(B) 5
(C) 2
(D) 0
उत्तर: (B) 5

55. \( (256)^{-(4^{-3/2})} \) का मान है:
(A) 1/2
(B) 1/4
(C) 1/8
(D) 1/16
उत्तर: (A) 1/2

56. \( 2^x = 3^y = 6^{-z} \) हो, तो \( 1/x + 1/y + 1/z = \) ?
(A) 0
(B) 1
(C) 6
(D) -1
उत्तर: (A) 0

57. \( (\frac{x^a}{x^b})^{\frac{1}{ab}} \cdot (\frac{x^b}{x^c})^{\frac{1}{bc}} \cdot (\frac{x^c}{x^a})^{\frac{1}{ca}} = \) ?
(A) 1
(B) 0
(C) x
(D) \( 1/x \)
उत्तर: (A) 1

58. \( \sqrt[5]{x^{20} y^{-10} z^5} \div \frac{x^3}{y^3} \) का सरल रूप है:
(A) \( xy z \)
(B) \( x y^2 z \)
(C) \( x/y z \)
(D) \( x y z^2 \)
उत्तर: (A)

59. \( (32/243)^{-4/5} \) का मान है:
(A) 81/16
(B) 16/81
(C) 9/4
(D) 4/9
उत्तर: (A) 81/16

60. यदि \( 2^{x-1} + 2^{x+1} = 320 \), तो x का मान है:
(A) 5
(B) 7
(C) 6
(D) 8
उत्तर: (B) 7

61. \( (x^b / x^c)^{b+c} \cdot (x^c / x^a)^{c+a} \cdot (x^a / x^b)^{a+b} = \) ?
(A) 1
(B) x
(C) 0
(D) \( x^{abc} \)
उत्तर: (A) 1

62. \( \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[12]{32} \) का मान है:
(A) 2
(B) \( \sqrt{2} \)
(C) 4
(D) 1
उत्तर: (A) 2

63. यदि \( a^x = b, b^y = c, c^z = a \), तो \( xyz = \) ?
(A) 0
(B) 1
(C) -1
(D) a+b+c
उत्तर: (B) 1

64. \( \frac{1}{1+x^{a-b}} + \frac{1}{1+x^{b-a}} = \) ?
(A) 0
(B) 1
(C) x
(D) \( x^{a+b} \)
उत्तर: (B) 1

65. \( (\sqrt{3})^{x} = 3^7 \div 3^4 \) हो, तो x है:
(A) 3
(B) 6
(C) 7
(D) 1.5
उत्तर: (B) 6

66. \( \frac{9^n \cdot 3^2 \cdot (3^{-n/2})^{-2} – (27)^n}{3^{3m} \cdot 2^3} = 1/27 \) हो, तो \( m-n = \) ?
(A) 1
(B) -1
(C) 2
(D) 3
उत्तर: (A) 1

67. \( (x + y)^{-1} \cdot (x^{-1} + y^{-1}) = \) ?
(A) 1
(B) 1/xy
(C) xy
(D) \( (x+y)^2 \)
उत्तर: (B) 1/xy

68. \( 3^{3^3} \) और \( (3^3)^3 \) में से कौन बड़ा है?
(A) \( (3^3)^3 \)
(B) \( 3^{3^3} \)
(C) दोनों बराबर हैं
(D) कोई नहीं
उत्तर: (B) (चूँकि \( 3^{27} > 3^9 \))

69. यदि \( 10^x = 64 \), तो \( 10^{x/2+1} = \) ?
(A) 80
(B) 40
(C) 640
(D) 18
उत्तर: (A) 80

70. \( \frac{1}{1+x^{b-a}+x^{c-a}} + \frac{1}{1+x^{a-b}+x^{c-b}} + \frac{1}{1+x^{a-c}+x^{b-c}} = \) ?
(A) 0
(B) 1
(C) 3
(D) x
उत्तर: (B) 1

71. \( \sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}} \) का मान घातांक रूप में है:
(A) \( x^{7/8} \)
(B) \( x^{1/8} \)
(C) \( x^{3/4} \)
(D) \( x^{1/2} \)
उत्तर: (A)

72. \( 5^{2x} = 15625 \) हो, तो \( x^2 \) है:
(A) 3
(B) 9
(C) 6
(D) 25
उत्तर: (B) 9 (चूँकि x=3)

73. \( (x^{a^2}/x^{b^2})^{1/(a+b)} = \) ?
(A) \( x^{a-b} \)
(B) \( x^{a+b} \)
(C) 1
(D) x
उत्तर: (A)

74. \( \frac{x^l}{x^m})^{l^2+lm+m^2} \dots \) (चक्रीय गुणा) का मान है:
(A) 0
(B) 1
(C) x
(D) \( x^{l+m+n} \)
उत्तर: (B) 1

75. \( 2^a = 3^b = 12^c \) हो, तो \( 1/c – 1/b = \) ?
(A) \( 1/a \)
(B) \( 2/a \)
(C) \( a/2 \)
(D) 0
उत्तर: (B) \( 2/a \)